Детерминант матрицы

Когда я пришла в универ, первой парой нам поставили линейную алгебру. И с самого первого знакомства с преподавателем, мы начали изучать матрицы. Даже не смотря на то, что в школе этой темы не было и я не знала даже что это такое, мне не было сложно.

Математика-это моё призвание. Но, вот моим одногруппникам было сложновато понять некоторые моменты, и часто приходилось им объяснять. В этой статье я хотела бы простыми словами рассказать что такое матрицы, детерминанты и зачем они нужны.

И так, начнём..

"Фильм", ответили многие из вас. Но, нет, на самом деле понятие матрицы лежит в основе линейной алгебры. По простому, это всего лишь таблица элементов, состоящая из строк и столбцов. Но, скажите вы, зачем же это всё называть матрицей и придумывать такие сложные понятия, если есть просто таблицы? Ну, наверное, сперва всё-таки появились матрицы, а потом уже и таблицы. Тем более, что таблицы - это совсем не математическое понятие.

Матрица - это так же таблица, только заполненая цифрами. И сразу же вопрос, зачем её придумали?

Иногда, этот вопрос задают себе даже преподаватели. Если вы никогда в жизни не сталкивались с ними, то вряд ли поймёте суть. Но, она есть и сейчас я хочу немного рассказать об этом.

Я учусь на геолога, по специализации геоинформатика. Моей задачей является анализировать растровые снимки и обрабатывать геологическую информацию при помощи программирование. Так вот, часто случается такое, что для анализа какого-нибудь рода данных следует вычислитеьным путём решить систему уравнений. Конечно же это всё надо программировать. Все те онлайн калькуляторы, которые вы видели в интернете, тоже запрограммированы какими-то людьми. А учитывая то , что языков программирования много и конечные цели написания алгоритма различны, нет ничего универсального и приходится делать всё вручную . Вот тут то и помогают матрицы. Сначала нужно записать коефициенты системы уравнений в виде матрицы, а дальше, найти детерминант (или определитель) и с лёгкостью решить ей. Конечно же есть и другие методы, но этот метод является базовым.

Так же сушествуют и не математические матрицы. Сейчас я вам приведу другой пример. Как я уже говорила, я работаю с растровыми снимками. Что такое растр? Это просто картинка из космоса, представлена в виде набора пикселей(квадратиков), в каждом этом пикселе записано какое-то значение (цифра), весь этот набор можно представить в виде матрицы и подать на вход в свой алгоритм. Всё просто, стоит только вникнуть!

Но, тема нашей статьи детерминант, давайте же узнаем, что это такое и как его вычислить..

Чтобы научиться вычислять детерминант, достаточно рассмотреть пример квадратной матрицы, размерностью n*n. И так, пускай у нас есть матрица, которая выглядит следующим образом:

| a b |

| c d |

тогда, детерминант вычисляется по формуле:

A = a*d - c*b

Чтобы вычислить определитель матрицы, размерностью 3*3:

| a b c |

| d e f |

| g h i |

A = a^(0+0)*(e*i - h*f)+ b^(0+1)*(d*i - g*f)+ c^(0+2)*(g*e - d*h)

Что же это за цифры, спросите вы? Всё просто. Цифры, это порядок элемента, вся матрица выглядит приблизительно так:

| 00 01 02 |

| 10 11 12 |

| 20 21 22 |

Это означает, что элемент a имеет порядковый номер 0,0; тогда как, например, элемент f имеет порядковый номер 1,2. В сумме, для a он будет 0, а для f он будет три. Это играет принципиальную роль в случае. когда матрица имеет отрицательные элементы. поскольку, исходный знак зависит только от степени, в которую этот элемент возведён.

Он нужен для того, чтобы решать сложные системы линейных уравнений. Когда мы систему уравнений предаставляем в виде матрицы, то решение можно найти всего лишь поигравшись с определителем.

Подробнее, чтайте в учебниках.

Всем приятной математики!

Видео обзор

Детерминант матрицы